Новичок «ураганной» дружины, с которым подписан контракт, рассчитанный сроком на один сезон, является воспитанником знаменитой новокузнецкой школы. Еще в неполные восемнадцать лет он впервые сыграл за «Металлург» в чемпионате Континентальной хоккейной лиги. Из родного города Арзамасцев впервые уехал летом 2013-го, когда в результате обмена стал игроком ярославского «Локомотива». Впрочем, совсем скоро Захар ненадолго вернулся домой, а затем перебрался в ряды ЦСКА.
В дальнейшей его карьере на уровне КХЛ были череповецкая «Северсталь» и уфимский «Салават Юлаев», екатеринбургский «Автомобилист» и московский «Спартак». За перечисленные клубы он провел в общей сложности 657 матчей, в которых сумел забросить в ворота соперников 48 шайб и отдал партнерам 90 результативных передач. Вместе с командой из столицы Башкортостана защитник дважды (2016, 2019) становился бронзовым призером чемпионата КХЛ.
Помимо того, некоторое время Арзамасцев провел в чешском клубе «Рытиржи Кладно», а концовку прошлого сезона отыграл в родном «Металлурге» (3 шайбы + 7 голевых пасов в 23 поединках «регулярки» и плей-офф ВХЛ). Что касается его выступлений на международном уровне, то в 2012-м Захар стал серебряным призером проходившего в Канаде МЧМ, в финале которого российская молодежь уступила шведским сверстникам со счетом 0:1 по итогам овертайма. Также Арзамасцев в 2017-2019 годах привлекался в олимпийскую и основную сборные команды страны.